Tổng hợp kiến thức cần núm vững, các dạng bài tập và câu hỏi có kỹ năng xuất hiện tại trong đề thi HK2 Toán học 12 sắp tới tới


Phần 1

NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG

1. Nguyên hàm

a) Khái niệm

Nếu (Fleft( x ight)) là 1 nguyên hàm của (fleft( x ight)) bên trên (K) thì họ nguyên hàm của (fleft( x ight)) trên (K) là:

(int f(x) dx = F(x) + C,C in R.)

b) Tính chất

+)(int f"(x) dx = f(x) + C)

+)(int left< f(x) pm g(x) ight> dx)( = int f(x) dx pm int g(x) dx)

+)(int kf(x) dx = kint f(x) dx (k e 0))

c) Nguyên hàm của một trong những hàm số thường xuyên gặp

*

d) Các phương pháp tìm nguyên hàm

- áp dụng bảng nguyên hàm cơ bản

- Sử dụng phương thức đổi biến hóa số

(int fleft< u(x) ight>.u"(x) dx = Fleft< u(x) ight> + C)

- Sử dụng phương thức ừng phần nhằm tìm nguyên hàm

(int u dv = uv - int v du)

2. Tích phân

a) Định nghĩa

Cho hàm số (fleft( x ight)) tiếp tục trên khoảng tầm (I) và (a,b) là nhì số bất kể thuộc (I.) ví như (Fleft( x ight)) là một nguyên hàm của (fleft( x ight)) thì hiệu số (Fleft( b ight) - Fleft( a ight)) được gọi là tích phân của (fleft( x ight)) từ bỏ (a) đến (b) với kí hiệu là (intlimits_a^b f(x)dx .)

Ta có công thức Newton – Leibnitz:

(intlimits_a^b f(x)dx = left. Fleft( x ight) ight|_a^b = Fleft( b ight) - Fleft( a ight))

b) Tính chất

+) (intlimits_a^a f(x)dx = 0)

+) (intlimits_a^b f(x)dx = - intlimits_b^a f(x)dx )

+) (intlimits_a^c f(x)dx = intlimits_a^b f(x)dx + intlimits_b^c f(x)dx )

+) (intlimits_a^b kf(x)dx = kintlimits_a^b f(x)dx ,k in R)

+)(intlimits_a^b dx )(= intlimits_a^b f(x)dx pm intlimits_a^b g(x)dx )

c) phương thức tính tích phân

- thực hiện công thức Newton – Leibnitz kết phù hợp với bảng nguyên hàm cơ bản ở trên

- phương thức đổi trở nên số

(intlimits_a^b fleft< u(x) ight>.u"(x) dx = intlimits_u(a)^u(b) f(u) du)

- phương pháp từng phần nhằm tính tích phân

(intlimits_a^b u dv = left. Uv ight|_a^b - intlimits_a^b v du)

3. Ứng dụng của tích phân

a) Tính diện tích hình phẳng

+) diện tích hình phẳng giới hạn bởi vật dụng thị hàm số (y = fleft( x ight)) ((fleft( x ight)) liên tục bên trên đoạn (left< a;b ight>)), trục (Ox) và hai tuyến phố thẳng (x = a) và (x = b) được cho vị công thức:

(S = intlimits_a^b left )

+) diện tích s hình phẳng giới hạn bởi hai tuyến phố thẳng (x = a,x = b) và đồ dùng thị của hai hàm số (y = f_1left( x ight)) và (y = f_2left( x ight)) ((f_1left( x ight)) cùng (f_2left( x ight)) liên tục bên trên đoạn (left< a;b ight>)) được cho bởi công thức

(S = intlimits_a^b f_1(x) - f_2(x) ight )

c) Tính thể tích vật thể, khối tròn xoay

+) Thể tích đồ gia dụng thể (T) có thiết diện (Sleft( x ight)) được cho vì chưng công thức:

(V = intlimits_a^b S(x)dx )

+) mang lại hàm số (y = fleft( x ight)) thường xuyên và ko âm trên đoạn (left< a;b ight>.) Thể tích của vật dụng thể tròn xoay sinh vì miền (left( D ight)) giới hạn bởi (y = fleft( x ight),;x = a,x = b,y = 0) quay quanh trục (Ox) được cho bởi vì công thức:

(V = pi intlimits_a^b y^2dx = pi intlimits_a^b f^2(x)dx )

+) mang đến hàm số (x = fleft( y ight)) liên tục với không âm trên đoạn (left< a;b ight>.) Tính thể tích đồ thể tròn luân chuyển sinh bởi miền (left( D ight)) giới hạn bởi (x = fleft( y ight),;y = a,y = b,x = 0) quay quanh trục (Oy) được cho vày công thức:

(V = pi intlimits_a^b x^2dy = pi intlimits_a^b f^2(y)dy )


Phần 2

SỐ PHỨC

1. Một vài phức là một biểu thức có dạng a + bi, trong đó a, b là những số thực cùng số i thoả mãn i2 = -1. Ký hiệu số phức chính là z với viết z = a + bi.

Bạn đang xem: Công thức toán 12 học kì 2

i được gọi là đơn vị ảo

a được call là phần thực. Cam kết hiệu Re(z) = a

b được gọi là phần ảo của số phức z = a + bi, ký hiệu Im(z) = b

Tập hợp những số phức cam kết hiệu là C.

*) một số lưu ý:

- Mỗi số thực a dương đa số được xem như thể số phức cùng với phần ảo b = 0.

- Số phức z = a + bi có a = 0 được điện thoại tư vấn là số thuần ảo hay là số ảo.

- Số 0 vừa là số thực vừa là số ảo.

2. Nhì số phức bằng nhau.

Cho z = a + bi và z’ = a’ + b’i.

3. Trình diễn hình học tập của số phức.

Mỗi số phức được màn trình diễn bởi một điểm M(a;b) trên mặt phẳng toạ độ Oxy.

Ngược lại, từng điểm M(a;b) biểu diễn một số phức là z = a + bi.

4. Phép cùng và phép trừ những số phức.

Cho hai số phức z = a + bi và z’ = a’ + b’i. Ta định nghĩa:

(left{ eginarraylz + z" = (a + a") + (b + b")i\z - z" = (a - a") + (b - b")iendarray ight.)

5. Phép nhân số phức.

Cho nhị số phức z = a + bi và z’ = a’ + b’i. Ta định nghĩa:

(zz" = aa" - bb" + (ab" + a"b)i)

6. Số phức liên hợp.

Cho số phức z = a + bi. Số phức (overline z ) = a – bi gọi là số phức liên hợp với số phức trên.

Vậy (overline z ) = (overline a + bi )= a - bi

Chú ý:

10) (overline overline z ) = z (z và (overline z ) điện thoại tư vấn là nhì số phức liên hợp với nhau.

20) z.(overline z ) = a2 + b2

*) đặc thù của số phức liên hợp:

(1): (overlineoverline z = z)

(2): (overline z + z" = overline z + overline z" )

(3): (overline z.z" = overline z .overline z" )

(4): z.(overline z )= (sqrt a^2 + b^2 )(z = a + bi)

7. Môđun của số phức.

Cho số phức z = a + bi. Ta cam kết hiệu (left| z ight|) là môđun của số phư z, sẽ là số thực không âm được khẳng định như sau:

- trường hợp M(a;b) màn biểu diễn số phc z = a + bi, thì (left| z ight|) = =(sqrt a^2 + b^2 )

- giả dụ z = a + bi, thì (left| z ight|) = (sqrt z.overline z )=(sqrt a^2 + b^2 )

8. Phép chia số phức không giống 0.

Cho số phức z = a + bi ≠ 0 (tức là a2+b2 > 0)

Ta tư tưởng số nghịch đảo z-1 của số phức z ≠ 0 là số

z-1= (frac1a^2 + b^2overline z = frac1left^2overline z )

Thương (fracz"z)của phép chia số phức z’ đến số phức z ≠ 0 được xác minh như sau:

(fracz"z = z".z^ - 1 = fracz".overline z left^2)

Với những phép tính cộng, trừ, nhân phân tách số phức nói trên nó cũng có đầy đủ đặc thù giao hoán, phân phối, phối hợp như các phép cộng, trừ, nhân, phân tách số thực thông thường.


Phần 3

PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ trong KHÔNG GIAN

1. Hệ trục tọa độ trong không gian

*

+) (overrightarrow i ^2 = overrightarrow j ^2 = overrightarrow k ^2 = 1)

(overrightarrow i .overrightarrow j = overrightarrow i .overrightarrow k ,, = ,,overrightarrow k .overrightarrow j = 0)

+) (vec 0 = (0;0;0),,,vec i = (1;0;0),) (vec j = (0;1;0),,,vec k = (0;0;1))

2. Các công thức điểm, véc tơ

+) (vec a pm vec b, = ,,(a_1 pm b_1;,,a_2 pm b_2;,,a_3 pm b_3))

+) (kvec a,, = ,,(ka_1;,,ka_2;,,ka_3))

+) (overrightarrow a = overrightarrow b ,, Leftrightarrow ,,left{ eginarrayla_1 = b_1\a_2 = b_2\a_3 = b_3endarray ight.)

+) (overrightarrow a ) cùng phương (overrightarrow b ,(vec b e vec 0),) ( Leftrightarrow overrightarrow a = koverrightarrow b ,,,(k in mathbbR))

( Leftrightarrow ,,left{ eginarrayla_1 = kb_1\a_2 = kb_2\a_3 = kb_3endarray ight. Leftrightarrow ,,fraca_1b_1 = fraca_2b_2 = fraca_3b_3,)((b_1,,,b_2,,,b_3 e 0))

+) (vec a.vec b = a_1.b_1 + a_2.b_2 + a_3.b_3)

+) (overrightarrow a ot overrightarrow b ,,, Leftrightarrow ,,,a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3 = 0)

+) (vec a^2 = a_1^2 + a_2^2 + a_3^2)

+) (left| vec a ight| = ,,sqrt a_1^2 + a_2^2 + a_2^2 )

+) (cos (vec a,,,vec b),, = ,fracvec a.vec b.left,)(, = ,,fraca_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3sqrt a_1^2 + a_2^2 + a_3^2 .sqrt b_1^2 + b_2^2 + b_3^2 )  (với (vec a,,,vec b e vec 0))

+) (eginarraylM in left( Oxy ight) Leftrightarrow z = 0\M in left( Oyz ight) Leftrightarrow x = 0\M in left( Oxz ight) Leftrightarrow y = 0endarray)

+)(eginarraylM in Ox Leftrightarrow y = z = 0;\M in Oy Leftrightarrow x = z = 0;\M in Oz Leftrightarrow x = y = 0endarray)

+) (overrightarrow AB )(= (x_B - x_A;y_B - y_A;z_B - z_A))

+) (AB)(= ,,sqrt (x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2 + (z_B - z_A)^2 )

+) Toạ độ trung điểm (M) của đoạn thẳng (AB): (Mleft( fracx_A + x_B2;fracy_A + y_B2;fracz_A + z_B2 ight))

+) Toạ độ trọng tâm (G) của tam giác (ABC): 

 (Gleft( fracx_A + x_B + x_C3;fracy_A + y_B + y_C3;fracz_A + z_B + z_C3 ight))

+) Toạ độ trọng tâm (G) của tứ diện (ABCD):

(Gleft( fracx_A + x_B + x_C + x_D4;fracy_A + y_B + y_C + y_D4;fracz_A + z_B + z_C + z_D4 ight))

+) (eginarraylleft< vec a,vec b ight>\ = ,,left( ,,;,,left ight)\ = left( a_2b_3 - a_3b_2;a_3b_1 - a_1b_3;a_1b_2 - a_2b_1 ight)endarray)

+) (,, ot ,,overrightarrow a ;,, ot ,,overrightarrow b )

+) (left< overrightarrow a ,,,overrightarrow b , ight> = - left< overrightarrow b ,overrightarrow a ight>)

+) (left< vec i,vec j ight> = vec k;left< vec j,vec k ight> = vec i;left< vec k,vec i ight> = vec j)

+) (overrightarrow a ,,,overrightarrow b ) thuộc phương ( Leftrightarrow ,, = ,,overrightarrow 0 ) (chứng minh (3) điểm thẳng hàng)

+) (vec a,vec b,vec c) đồng phẳng ( Leftrightarrow left< vec a,vec b ight>.vec c = 0)

+) diện tích hình bình hành (ABCD):

(S_ABCD = left| left< overrightarrow AB ,overrightarrow AD ight> ight|)

+) diện tích tam giác (ABC):

(S_Delta ABC = frac12left| left< overrightarrow AB ,,,overrightarrow AC ight> ight|)

+) Thể tích khối vỏ hộp (ABCD.A"B"C"D"):

(V_ABCD.A"B"C"D",, = ,,left| .overrightarrow AA" ight|) 

+) Thể tích tứ diện (ABCD):

(V_ABCD = frac16left| ,.overrightarrow AD ight|)

2. Phương trình phương diện phẳng

+) Trong không khí (Oxyz), rất nhiều mặt phẳng đều có dạng phương trình:

(Ax + By + Cz + D = 0,,) với (A^2 + B^2 + C^2 e 0)

+) nếu mặt phẳng ((alpha )) có phương trình (Ax + By + Cz + D = 0,,)thì nó có một VTPT là (overrightarrow n (A;,B;,C)).

+) Phương trình phương diện phẳng đi qua điểm (M_0(x_0;y_0;z_0)) và nhận vectơ (overrightarrow n (A;,B;,C)) khác (overrightarrow 0 ) là VTPT là: (A(x - x_0) + B(y - y_0) + C(z - z_0) = 0).

+) ví như (overrightarrow n ) là 1 trong VTPT của phương diện phẳng ((alpha )) thì (koverrightarrow n ,)(,(k e 0)) cũng là 1 trong những VTPT của khía cạnh phẳng((alpha ))

+) Một phương diện phẳng được xác định duy duy nhất nếu biết một điểm nó đi qua và một VTPT của nó.

+) nếu như (overrightarrow u ,,overrightarrow v ) bao gồm giá song song hoặc nằm xung quanh phẳng ((alpha )) thì (overrightarrow n = m) là 1 trong những VTPT của ((alpha )).

Xem thêm: Đề thi tuyển sinh lớp 10 môn sử cao bằng 2022, đề cương ôn thi vào lớp 10 môn lịch sử 9 năm 2022

+) khoảng cách từ điểm (M_0) mang lại mặt phẳng ((alpha )) được tính: (d(M_0,(alpha )) = fracsqrt A^2 + B^2 + C^2 )

+) Góc giữa (left( alpha ight)) cùng (left( eta ight)) bằng hoặc bù cùng với góc giữa hai VTPT (overrightarrow n_alpha ,overrightarrow n_eta ). Tức là:

(eginarraylcos left( left( alpha ight),left( eta ight) ight)\ = left| cos left( overrightarrow n_alpha ,overrightarrow n_eta ight) ight| = frac overrightarrow n_alpha ight\ = fracsqrt A_1^2 + B_1^2 + C_1^2 .sqrt A_2^2 + B_2^2 + C_2^2 endarray)

+) ((alpha ) m//(eta )) (Leftrightarrow fracA_1A_2 = fracB_1B_2 = fracC_1C_2 e fracD_1D_2)

+) ((alpha ) equiv (eta ))(Leftrightarrow fracA_1A_2 = fracB_1B_2 = fracC_1C_2 = fracD_1D_2)

+) ((alpha )) giảm ((eta ))(Leftrightarrow fracA_1A_2 e fracB_1B_2) hoặc (fracB_1B_2 e fracC_1C_2) hoặc (fracA_1A_2 e fracC_1C_2)

3. Phương trình mặt đường thẳng

+) Phương trình tham số: (left{ eginarraylx = x_0 + a_1t\y = y_0 + a_2t\z = z_0 + a_2tendarray ight.; m left( t in mathbbR ight)) với (M_0left( x_0;y_0;z_0 ight)) là điểm đi qua và (overrightarrow u = left( a_1;a_2;a_3 ight)) là VTCP (left( a_1^2 + a_2^2 + a_3^2 e 0 ight))

+) Phương trình chủ yếu tắc: (fracx - x_0a_1 = fracy - y_0a_2 = fracz - z_0a_3) với (M_0left( x_0;y_0;z_0 ight)) là điểm đi qua cùng (overrightarrow u = left( a_1;a_2;a_3 ight)) là VTCP (left( a_1a_2a_3 e 0 ight))

+) call (varphi ) là góc giữa hai tuyến phố thẳng (Delta _1) với (Delta _2). Ta có: (cos varphi = frac overrightarrow u_1 .overrightarrow u_2 ight overrightarrow u_2 ight)

+) gọi (varphi ) là góc giữa đường thẳng (Delta ) và mặt phẳng ((alpha )). Ta có: (sin varphi = fracleft overrightarrow n_alpha ight)

+) khoảng cách từ điểm (M) cho đường thẳng (Delta ) trải qua điểm (M_0) và tất cả vectơ chỉ phương (overrightarrow u_Delta )

(dleft( M,Delta ight) = fracleft)

+) khoảng cách giữa hai tuyến đường thẳng chéo nhau:

(Delta _1) đi qua điểm (M) và gồm vectơ chỉ phương (overrightarrow u_1 )

(Delta _2) đi qua điểm (N) và tất cả vectơ chỉ phương (overrightarrow u_2 )

(dleft( Delta _1,Delta _2 ight) m = frac left< overrightarrow u_1 ,overrightarrow u_2 ight>.overrightarrow MN ight left< overrightarrow u_1 ,overrightarrow u_2 ight> ight)

+) Vị trí tương đối của hai đường thẳng

(d) song song (d") (Leftrightarrow left{ eginarrayloverrightarrow u = koverrightarrow u" \M in d,M otin d"endarray ight.)

(d) trùng (d") (Leftrightarrow left{ eginarrayloverrightarrow u = koverrightarrow u" \M in d,M in d"endarray ight.)

(d) giảm (d") (Leftrightarrow left< overrightarrow u ,overrightarrow u" ight>.overrightarrow MN = 0) với (overrightarrow u ,overrightarrow u" ) không thuộc phương

(d) chéo (d") (Leftrightarrow left< overrightarrow u ,overrightarrow u" ight>.overrightarrow MN e 0)

4. Phương trình phương diện cầu

+) Phương trình bao gồm tắc

Mặt cầu (left( S ight):)(left( x - a ight)^2 + left( y - b ight)^2 + left( z - c ight)^2 = R^2) gồm tâm (Ileft( a;b;c ight)), bán kính (R > 0)

+) Phương trình tổng quát

Mặt cầu (left( S ight):x^2 + y^2 + z^2 - 2ax - 2by - 2cz + d = 0) bao gồm tâm (Ileft( a;b;c ight)) và bán kính (R = sqrt a^2 + b^2 + c^2 - d ) cùng với (a^2 + b^2 + c^2 - d > 0)


Tổng hòa hợp công thức giải nhanh Toán 12 rất cần được nhớ. Công tác toán 12 được đánh giá là chương trình rất là nặng và cũng tương đối quan trọng trong 3 năm cung cấp 3. Với cách thức thi xuất sắc nghiệp trung học phổ thông mới hiện tại nay, bọn họ cần phải sẵn sàng hành trang kỹ năng dựa theo hình thức tóm tắt, giải nhanh để có thể làm đúng tối đa phần lượng câu gồm trong đề thi. giaoducq1.edu.vn hiểu được điều đó, xin gửi khuyến mãi đến các bạn công thức giải nhanh Toán 12. Chỉ cần học tương đối đầy đủ bộ công thức, chúng ta thừa sức đi thi đại học năm 2023 rồi.

Các bí quyết giải cấp tốc Toán 12

Chi ngày tiết các bí quyết toán 12 thi thpt quốc gia, công thức toán 12 học tập kì 1, công thức toán 12 học kì 2 để các bạn tham khảo:

*
Công thức toán hình lớp 12 học kì 1
*
Công thức giải nhanh hình học tập 12
*
Công thức giải nhanh toán hình 12
*
Các phương pháp giải cấp tốc toán hình 12
*
Các phương pháp tính cấp tốc toán 12 hình học
*
Công thức hình học 12 học tập kì 1
*
Các bí quyết toán hình 12 học kì 1
*
Công thức hình học tập 12 giải nhanh
*
Công thức toán hình 12 học kì 2
*
Công thức tính nhanh toán 12 hình học
*
Công thức giải cấp tốc toán 12
*
Các cách làm toán 12 thi thpt quốc gia
*
Công thức toán 12 học kì 1
*
Công thức toán 12 học tập kì 2
*
Công thức tính nhanh toán 12
*
Các bí quyết tính cấp tốc toán 12
*
Công thức tính cấp tốc trắc nghiệm toán 12
*
Những phương pháp tính nhanh toán 12
*
Công thức toán 12 kì 1
*
Công thức giải nhanh toán 12 sử dụng máy tính

*

*
Các bí quyết toán 12 kì 1
*
Công thức nhanh toán 12
*
Các cách làm giải cấp tốc trắc nghiệm toán 12
*
Các phương pháp nhanh toán 12
*
Các cách làm toán 12 học kì 1
*
Các cách làm tính nhanh toán 12 bằng máy tính
*
Công thức giải cấp tốc toán 12 chương 1
*
Công thức giải nhanh toán 12 hàm số
*
Công thức giải nhanh toán lớp 12