Công thức hình học về khối đa diện và hình học phẳng là kiến thức rất quan trọng trong các kỳ thi. Để chinh phục được bài tập hình học và đạt kết quả cao trong thi cử, các em cần phải thuộc lòng công thức toán hình 12. Bài viết hôm nay Marathon Education sẽ giới thiệu đến các em những công thức hình học toán 12 đầy đủ và chi tiết nhất.

Bạn đang xem: Các công thức hình học 12


Công thức tính thể tích khối đa diện

Bài tập khối đa diện là một trong những dạng bài hình học không gian phổ biến trong chương trình toán hình 12. Vì vậy, các em cần nắm vững một số công thức toán hình 12 về khối đa diện dưới đây để làm bài thật chính xác:

Công thức tính thể tích hình chóp


*

Hình chóp là một khối đa diện có mặt đáy là hình đa giác và các mặt bên được tạo thành bởi các hình tam giác có chung đỉnh. Công thức chung để tính thể tích hình chóp cụ thể như sau:


Trong đó:

V là thể tích hình chóp
S là diện tích mặt đáyh là chiều cao hình chóp

Hình tứ diện đều là một loại hình chóp đặc biệt có tất cả các mặt là tam giác đều có cạnh bằng nhau. Các em nên ghi nhớ các công thức tính hình tứ diện đều dưới đây để giải bài tập nhanh hơn:


\begin{aligned}&\bull\text{Chiều cao: }h=\frac{a\sqrt{6}}{3}\\&\bull\text{Thể tích: }V=\frac{a^3\sqrt2}{12}\\&\bull\text{Diện tích toàn phần: }S_{toàn phần}=4S_{đáy}=a^2\sqrt3\end{aligned}

*

Hình chóp tứ giác đều là một loại hình chóp đặc biệt có mặt đáy là hình vuông và các mặt bên đều là tam giác cân. Dưới đây là một số công thức tính hình chóp tứ giác đều:


\begin{aligned}&\bull\text{Thể tích: }V=\frac{1}{3}a^2h\\&\bull\text{Diện tích toàn phần: }S_{toàn phần}=a^2+2a\sqrt{b^2-\frac{a^2}{4}}\end{aligned}

*

Lăng trụ là khối đa diện có 2 đáy là hình đa giác giống nhau và các mặt bên là hình bình hành. Để tính thể tích hình lăng trụ, các em dựa vào công thức sau:


Trong đó:

V là thể tích hình lăng trụ
S là diện tích mặt đáyh là chiều cao 

Lưu ý: Nếu là hình lăng trụ đứng thì chiều cao chính là cạnh bên.

Công thức tính thể tích hình hộp


*

Hình hộp chữ nhật là khối hộp có 6 mặt hình chữ nhật. Để tính thể tích hình hộp chữ nhật, các em vận dụng công thức sau:


Trong đó:

a là chiều rộng mặt đáy hình hộp chữ nhậtb là chiều dài mặt đáy hình hộp chữ nhậtc là chiều cao hình hộp chữ nhật

Hình lập phương là khối hộp có 6 mặt đều là hình vuông. Dưới đây là công thức tính thể tích hình lập phương đơn giản, dễ nhớ:

Công thức toán hình 12 có rất nhiều các dạng bài, đôi khi sẽ khiến chúng ta dễ nhầm lẫn. Đừng lo! Bài viết chia sẻ đến cho các bạn toàn bộ công thức toán 12 hình học, không chỉ giúp dễ dàng tổng hợp kiến thức, mà còn mang lại toàn bộ kiến thức toán hình 12 đầy đủ đến mỗi học sinh.



1. Tổng hợp công thức toán hình 12 khối đa diện

Đến với chương đầu tiên - khối đa diện, bạn được học về hình chóp tam giác, chóp tứ giác, hình hộp,... Chúng ta có thể hiểu rằng khối đa diện là phần không gian được giới hạn bởi hình đa diện, bao gồm cả hình đa diện đó. Ta sẽ có những công thức như sau:

1.1. Công thức toán hình 12 khối đa diện

Thể tích khối chóp áp dụng cho chóp tam giác và chóp tứ giác:

Công thức tính thể tích hình chóp được hiểu là một phần ba diện tích mặt đáy nhân với chiều cao. Thể tích khối chóp tứ giác đều và tam giác đều có cùng chung công thức.

Ta có thể tích khối chóp:

*
Sđáy . h

Trong đó:

S đáy:Diện tích mặt đáyh: Độ dài chiều cao

Thể tích khối chóp S.ABCD là:

*

1.2. Công thức toán hình 12 khối lăng trụ

Hình lăng trụ có vài đặc điểm giống nhau, đó là:

Nằm trên 2 mặt phẳng song song với nhau và có hai đáy giống nhau.

Cạnh bên đôi một bằng nhau và song song với nhau, các mặt bên là hình bình hành.

*

*

Thể tích khối lăng trụ được tính bằng công thức như sau:

V= S.h

Trong đó:

S là diện tích đáy.h là chiều cao.

Lưu ý: Hình lăng trụ đứng có chiều cao chính là cạnh bên.

Ngoài ra, các em có thể tham khảo thêm công thức tính thể tích khối lăng trụ tam giác đềuđể giải các bài tập về hình lăng trụ.

1.3.Thể tích hình hộp chữ nhật lớp 12

Hình hộp chữ nhật có các cạnh đáy lần lượt là a, b và chiều cao c, khi đó thể tích hình hộp chữ nhật là V= a.b.c (a, b, c có cùng đơn vị).

Hình lập phương là dạng đặc biệt của hình hộp chữ nhật có a = b = c. Do vậy thể tích hình lập phương được tính theo công thức: V = a3

*

1.4.Công thức toán hình 12 khối chóp cụt

Hình chóp cụt được định nghĩa là một phần của khối đa diện nằm giữa mặt đáy và thiết diện cắt bởi đáy của hình chóp và một mặt phẳng song song với đáy.

*

a) Diện tích xung quanh hình chóp cụt

Diện tích xung quanh của hình chóp cụt là diện tích các mặt xung quanh, phần bao quanh hình chóp cụt không bao gồm diện tích hai đáy.

Diện tích hình chóp cụt đều được tính bằng công thức dưới đây:

*
. Smặt bên

*

Trong đó:

Sxq: diện tích xung quanh.n: số lượng mặt bên.a, b: chiều dài cạnh của 2 đáy trên và dưới của hình chóp cụt.h: chiều cao mặt bên.

Công thức tính diện tích xung quanh của hình chóp cụt là tính diện tích từng mặt bên của hình chóp cụt theo công thức tính diện tích hình thang bình thường, sau đó tính tổng diện tích của tất cả các hình cấu thành hình chóp cụt.

b) Công thức tính diện tích toàn phần

Diện tích toàn phần của hình chóp cụt được tính bằng tổng diện tích 2 mặt đáy và diện tích xung quanh của hình chóp cụt đó.

Công thức:

Stp = Sxq + Sđáy lớn + Sđáy nhỏ

Trong đó:

Stp: Diện tích toàn phần
Sxq: Diện tích xung quanh
Sđáy lớn: Diện tích đáy lớn
Sđáy nhỏ: Diện tích đáy nhỏc) Thể tích hình chóp cụt được tính bằng công thức

Công thức:

*

Trong đó:

V: thể tích hình chóp cụt.

S, S’ lần lượt là diện tích mặt đáy lớn và đáy nhỏ của hình chóp cụt.

h: chiều cao (khoảng cách giữa 2 mặt đáy lớn và đáy nhỏ)

2. Công thức toán hình 12 hình nón

Có thể hiểu đơn giản, hình học có không gian ba chiều mà bề mặt phẳng và bề mặt cong hướng lên phía trên là hình nón. Đầu nhọn của hình nón được gọi là đỉnh và bề mặt phẳng được gọi là đáy. Ta có thể dễ dàng bắt gặp những vật dụng có hình nón như chiếc nón lá, mũ sinh nhật,...

a) Diện tích xung quanh hình nón được tính bằng tích của số Pi (π) nhân với bán kính đáy hình nón (r) rồi nhân với đường sinh hình nón (l). Ta có công thức:

*

Trong đó:

Sxq: là diện tích xung quanh.π: là hằng sốr: là bán kính mặt đáy hình nónl: đường sinh của hình nón.

b) Diện tích toàn phần hình nón được tính bằng diện tích xung quanh hình nón cộng với diện tích mặt đáy của hình nón.

*

Vì diện tích của mặt đáy là hình tròn nên ta áp dụng công thức tính diện tích hình tròn:

*

c) Để tính thể tích khốinón, ta áp dụng công thức sau:

*

Trong đó:

V: Ký hiệu thể tích hình nónπ: = 3,14r: Bán kính hình tròn đáy.h: là đường cao tính từ đỉnh hình nón xuống tâm đường tròn

d) Tổng hợp một vài công thức mặt nón:

*

Đường cao: h=SO (hay còn gọi là trục của hình nón)

Bán kính đáy: r=OA=OB=OM

Đường sinh: l=SA=SB=SM

Góc ở đỉnh: ASB

Thiết diện qua trục SAB cân tại S

Góc giữa mặt đáy và đường sinh: SAO=SBO=SMO

Chu vi đáy:

*

Diện tích đáy: Sđáy

*

3. Công thức toán hình lớp 12 hình trụ

Hình được giới hạn bởi hai đường tròn có mặt trụ và đường kính bằng nhau được gọi là hình trụ. Trong công thức toán hình lớp 12, hình trụ cũng được tìm kiếm khá nhiều, áp dụng cho cả dạng bài phức tạp và đơn giản.

a) Công thức tính thể tích khối trụ:

*
S đáy

Trong đó ta có:

r: bán kính hình trụh: chiều cao hình trụ
*
3.14

b) Diện tích xung quanh của khối trụ có công thức như sau:

*

Trong đó:

r: bán kính hình trụh: chiều cao nối từ đáy cho tới đỉnh của hình trụ

c) Công thức tính diện tích toàn phần

*
Sđáy =
*

d) Một vài công thức hình trụ khác

Diện tích đáy:

*

Chu vi đáy:

*

4. Những công thức toán hình lớp 12: Mặt cầu

Theo những gì chúng ta đã được học, mặt cầu tâm O, bán kính r được tạo nên bởi tập hợp điểm M trong không gian và cách điểm O khoảng cố định không đổi bằng r (r>0).

Cho mặt cầu S (I,R), ta có:

Trong đó: r: bán kính hình cầu

Diện tích mặt cầu:

*

5. Công thức toán hình 12 tọa độ trong không gian

5.1. Hệ tọa độ oxyz

Trong không gian với hệ tọađộ oxyz, cho ba trục Ox, Oy, Oz vuông góc từng đôi một và phân biệt nhau, có gốc tọa độ O, trục tung Oy, trục hoành Ox, trục cao Oz và các mặt tọa độ Oxy, Oyz, Ozx. Các

*
là các vectơ đơn vị.

*
+ 1

Chú ý:

*

*

5.2. Vectơ

*

5.3. Tích có hướng của 2 vectơ

Cho 2 vectơ

*
=(a;b;c) và
*
=(a";b";c) ta định nghĩa tích có hướng của 2 vectơ đó là 1 vectơ, kí hiệu
*
hay
*
có tọa độ:

*
*
*

Tính chất có hướng của 2 vectơ

a.

*
vuông góc với
*
và
*

b.

*

c.

*
*
cùng phương

5.4. Tọa độ điểm

*

5.5. Phương trình mặt cầu, đường thẳng, mặt phẳng

a) Phương trình đường thẳng

Các dạng phương trình đường thẳng trong không gian bao gồm:

- Vectơ chỉ phương của đường thẳng:

Định nghĩa: Cho đường thẳng d. Nếu vectơ

*
và có giá song song hoặc trùng với đường thẳng d thì vecto a được gọi là vectơ chỉ phương của đường thẳng d. Kí hiệu:
*

Chú ý:

a là VTCP của d thì
*
cũng là VTCP của d
Nếu d đi qua hai điểm A, B thì AB là một VTCP của d
Trục Ox có vecto chỉ phương
*
=
*
= (1;0;0)Trục Oy có vecto chỉ phương
*
=
*
= (0;1;0)Trục Oz có vecto chỉ phương
*
=
*
= (0;0;1)

- Phương trình tham số của đường thẳng:

Phương trình tham số của đường thẳng () đi qua điểm

*
và nhận
*
làm VTCP là:

{x=x0+a1t

{y=y0+a2t

{z= z0+a3t

- Phương trình chính tắc của đường thẳng:

Phương trình chính tắc của đường thẳng (

*
) đi qua điểm
*
và nhận
*

(

*
) :
*

b) Phương trình mặt cầu

Theo định nghĩa, chúng ta có thể biết được, phương trình mặt cầu là khi cho điểm I cố định và số thực dương R. Gọi tập hợp những điểm M trong không gian cách I một khoảng R được gọi là mặt cầu tâm I, bán kính R.

Xem thêm: Bài Giảng Người Trong Bao (Sê, Bài Giảng Người Trong Bao Ngữ Văn 11

Lúc này ta có hai dạng phương trình:

Dạng 1: Phương trình mặt cầu (S), có tâm I (a,b,c), bán kính R

*

Dạng 2: Phương trình có dạng:

*

Với điều kiện là:

*
là phương trình mặt cầu (S) và có tâm I(a,b,c) và bán kính
*

c) Phương trình mặt phẳng

- Phương trình mặt phẳng a:

Phương trình tổng quát:

*

*

Phương trình đoạn chắn:

*

( a qua A (a;0;0) ; B ( 0;b;0 ) ; C (0;0;c ))

- Góc giữa 2 mặt phẳng:

a: Ax + By + Cz + D = 0

b: A’x +B’y + C’z + D’ = 0

*

- Khoảng cách từ điểm M0(x0; y0; z0) đến mặt phẳng a:

$d(M,(a))=\frac{Ax_{0}+By_{0}+Cz_{0}+D}{\sqrt{A^{2}+B^{x}+C^{2^}}}}$

Hy vọngcác công thức toán hình 12mà giaoducq1.edu.vn chia sẻ trên đây phần nào giúp các bạn ghi nhớ hiệu quả và và hạn chế sai sót trong quá trình làm bài. Nếu mong muốn hiểu sâu về bài giảng cho môn học, các bạn học sinh hãy đăng ký tham gia khóa học dành cho học sinh lớp 12 ôn thi THPT trên giaoducq1.edu.vn nhé! Chúc các bạn ôn thi thật hiệu quả.